미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\sin (y) + y \cos (y)$ 을 곱합니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1.2

$\sin (y) + y \cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1.2.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \log (e^{x})$ 을 간단히 합니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1.2.1.3

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1.2.1.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2.2

$\sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \cos (y)$ 입니다.

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2.3

$u = y$ 이고 $d v = \cos (y)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2.4

$\sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \cos (y)$ 입니다.

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

간단히 합니다.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2.5.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.5.2.1

$- \cos (y)$ 를 $\cos (y)$ 에 더합니다.

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.2.5.2.2

$y \sin (y)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$x \log (e^{2 x}) + 1$ 을 $x (2 x \log (e)) + 1$ 로 바꿔 씁니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

단계 2.3.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

단계 2.3.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

단계 2.3.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

단계 2.3.4

$2 \log (e)$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 \log (e)$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

단계 2.3.6

상수 규칙을 적용합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

단계 2.3.7.3

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

단계 2.3.7.4

항을 다시 정렬합니다.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$