미적분 예제

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 에 $e^{2 y}$ 을 곱합니다.

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = 1$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

단계 3

$N (x, y) = y + 2 x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $y + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.2.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

단계 3.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

단계 3.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$0 = 2$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$0 = 2$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{2 + 0}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $1$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 + 0}{1}$

단계 5.3.2

$2 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 + 0$

단계 5.3.3

$M$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$2$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

단계 6

적분 $e^{\int 2 d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

단계 6.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

단계 7

$d x + (y + 2 x) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{2 y}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$1$ 에 $e^{2 y}$ 을 곱합니다.

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

단계 7.2

$y + 2 x$ 에 $e^{2 y}$ 을 곱합니다.

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

단계 9

$M (x, y) = e^{2 y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 y} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{2 y} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = 2 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.6

$e^{2 y}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.3.7

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 12.5.2

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $2 x e^{2 y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

단계 13.1.2

$y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.2.1

$2 x e^{2 y}$ 에서 $2 x e^{2 y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

단계 13.1.2.2

$y e^{2 y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

단계 14

$y e^{2 y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

단계 14.3

$u = y$ 이고 $d v = e^{2 y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

단계 14.4

간단히 합니다.

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단계 14.4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 y}$ 을 묶습니다.

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

단계 14.4.2

$y$ 와 $\frac{e^{2 y}}{2}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

단계 14.5

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

단계 14.6

괄호를 제거합니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

단계 14.7

먼저 $u = 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 14.7.1

$u = 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 14.7.1.1

$2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

단계 14.7.1.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 14.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 14.7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 14.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 14.8

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 14.9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 14.10

간단히 합니다.

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단계 14.10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

단계 14.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

단계 14.11

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

단계 14.12

$\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 을 $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

단계 14.13

$u$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

단계 15

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

단계 16

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

단계 16.1.2

$\frac{y}{2}$ 와 $e^{2 y}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

단계 16.1.3

$e^{2 y}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.2

$e^{2 y} x$ 에서 $\frac{e^{2 y}}{4}$ 을 뺍니다.

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단계 16.2.1

$e^{2 y}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x e^{2 y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.2.3

$x e^{2 y}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.3.1

$x e^{2 y}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.3.2

$4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.2.1

$4 x e^{2 y}$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

단계 16.3.2.2

$- e^{2 y}$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

단계 16.3.2.3

$e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y e^{2 y}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 16.5.1

$\frac{y e^{2 y}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.7.1

$y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

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단계 16.7.1.1

$y e^{2 y} \cdot 2$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.7.1.2

$e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

단계 16.7.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$