미적분 예제

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $d x$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

단계 3.2

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

단계 3.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

$x^{2} y^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

단계 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

단계 3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 을 $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2.3.2.3

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.3.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.3.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

단계 4.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

단계 4.3.4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.3.4.1

$- (- x^{- 1} + C_{2})$ 을 $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 4.3.4.2

간단히 합니다.

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단계 4.3.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 4.3.4.2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

단계 5.2

$\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

단계 5.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

단계 5.2.3

$\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

단계 5.2.4

$\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.2.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 5.2.5.1

$\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.2.5.2

$\sqrt[3]{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.2.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

단계 5.2.5.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

단계 5.2.5.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.2.5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 5.2.5.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 5.2.5.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.2.5.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.5.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.2.5.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

단계 5.2.5.5.5

간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

단계 5.2.6

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

단계 5.2.7

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

단계 5.2.8

$\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$