미적분 예제

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

단계 1

방정식 좌변이 $(x - 3) y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x - 3$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

단계 1.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.8

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.9

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

단계 5.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

단계 6

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ 의 각 항을 $x - 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ 의 각 항을 $x - 3$ 로 나눕니다.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$