미적분 예제

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r t}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

단계 2.5

$e^{r t}$ 로 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$3 r^{2} e^{r t}$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

단계 2.5.2

$4 r e^{r t}$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

단계 2.5.3

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

단계 2.5.4

$- e^{r t}$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

단계 2.5.5

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ 에서 $e^{r t}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

단계 2.6

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r t}$ 으로 나눕니다.

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = 4$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $r$ 를 구합니다.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.2.2

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.3

$16$ 를 $12$ 에 더합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

단계 3.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

단계 3.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.1.2.2

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.1.3

$16$ 를 $12$ 에 더합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

단계 3.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

단계 3.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

단계 3.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

단계 3.4.5

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

단계 3.4.6

$\sqrt{7}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

단계 3.4.7

$- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

단계 3.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

단계 3.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.2.2

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.3

$16$ 를 $12$ 에 더합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.4

$28$ 을 $2^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.4.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

단계 3.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

단계 3.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

단계 3.5.5

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

단계 3.5.6

$- \sqrt{7}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

단계 3.5.7

$- 1 (2) - (\sqrt{7})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

단계 3.5.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

단계 3.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$t$ 와 $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

단계 6.2

$t$ 와 $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ 을 묶습니다.

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$