미적분 예제

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

단계 1.2.2

$4$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

단계 1.2.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

단계 1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

단계 1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

단계 1.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.2

$y^{- 2} (y^{2} - 1)$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

지수를 더하여 $y^{- 2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.3.1.2

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.3.2

$y^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.3.3

$y^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.3.4

$- 1 y^{- 2}$ 을 $- y^{- 2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

단계 2.2.7

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

단계 2.2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

간단히 합니다.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

단계 2.2.8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

단계 2.2.8.2.2

$\frac{1}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 을 $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, y, 1, 1$

단계 3.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$y$

단계 3.2

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ 의 각 항에 $y$ 을 곱합니다.

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

단계 3.2.2.1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

단계 3.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

단계 3.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

단계 3.3.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

단계 3.3.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.3.5

이차함수의 근의 공식에 $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.3

${(2 x^{2} + K)}^{2}$ 을 $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.5.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.1.5

$K$ 에 $K$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.2

$2 x^{2} K$ 를 $2 K x^{2}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.5.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.5.2.2

$2 K x^{2}$ 를 $2 K x^{2}$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.6

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.6.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.7

인수분해된 형태로 $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.7.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1.7.1.1

$4 x^{4}$ 을 ${(2 x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.7.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

단계 3.3.6.1.7.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.7.1.4

$a = 2 x^{2}$ 이고 $b = K$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.1.7.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 x^{2} + K$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

단계 3.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

단계 3.3.6.3

$\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

단계 3.3.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$