미적분 예제

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.2

$16$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

단계 2.3.5

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$16$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ 에서 $t$ 에 $π$ 을, $v$ 에 $- 3$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$8 π^{2} - \tan (π) + K$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

단계 4.2.1.1.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

단계 4.2.1.1.3

$- - 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

단계 4.2.1.1.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

단계 4.2.1.2

$8 π^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 π^{2} + K = - 3$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $8 π^{2}$ 를 뺍니다.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

단계 5

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ 의 $K$ 에 $- 3 - 8 π^{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- 3 - 8 π^{2}$ 를 대입합니다.

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$