미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125)$ , $y (\ln (5)) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 \int e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

단계 2.3.2

먼저 $u_{2} = e^{3 t} - 125$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 e^{3 t} d t$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 t} d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u_{2} = e^{3 t} - 125$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$e^{3 t} - 125$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 125]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{3 t} - 125$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 125]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.2.1.3.1

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.3.5

$e^{3 t}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 125]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1.4.1

$- 125$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 125$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 125$ 입니다.

$3 e^{3 t} + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$3 e^{3 t}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 e^{3 t}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\sin (u_{2})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.5.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.5.3

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.6

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{2})$ 입니다.

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $e^{3 t} - 125$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \cos (e^{3 t} - 125) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - \cos (e^{3 t} - 125) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - \cos (e^{3 t} - 125) + K$ 에서 $t$ 에 $\ln (5)$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = - \cos (e^{3 \ln (5)} - 125) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- \cos (e^{3 \ln (5)} - 125) + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \cos (e^{3 \ln (5)} - 125) + K = 0$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (5)$ 을 간단히 합니다.

$- \cos (e^{\ln (5^{3})} - 125) + K = 0$

단계 4.2.1.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- \cos (5^{3} - 125) + K = 0$

단계 4.2.1.1.3

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \cos (125 - 125) + K = 0$

단계 4.2.1.2

$125$ 에서 $125$ 을 뺍니다.

$- \cos (0) + K = 0$

단계 4.2.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

단계 4.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$K = 1$

단계 5

$y = - \cos (e^{3 t} - 125) + K$ 의 $K$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = - \cos (e^{3 t} - 125) + 1$