미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x^{2} e^{x^{2}}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 2 x$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 2 x d x}$

단계 1.2

$- 2 x$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 2 \int x d x}$

단계 1.2.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- x^{2} + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x^{2}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{- x^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{- x^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

단계 2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} (x^{2} e^{x^{2}})$

단계 2.4

지수를 더하여 $e^{- x^{2}}$ 에 $e^{x^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$e^{x^{2}}$ 를 옮깁니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 (e^{x^{2}} e^{- x^{2}}) x^{2}$

단계 2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2} - x^{2}} x^{2}$

단계 2.4.3

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{0} x^{2}$

단계 2.5

$3 e^{0} x^{2}$ 을 간단히 합니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$

단계 2.6

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x^{2}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x^{2}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x$

단계 6.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 6.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 을 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

단계 6.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

단계 6.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

단계 6.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- x^{2}} y = 1 x^{3} + C$

단계 6.3.2.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$

단계 7

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ 의 각 항을 $e^{- x^{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ 의 각 항을 $e^{- x^{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{- x^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$