미적분 예제

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x + 3 y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 6 x + y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $6 x + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$6 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $6 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $6 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

단계 1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x + 3 y)]$

단계 2.2

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $y (2 x + 3 y)$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $2 x + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 2.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

단계 2.7

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

단계 2.8.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 y$ 을 대입합니다.

$2 y = 2 y$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 y = 2 y$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y (2 x + 3 y) d y$

단계 5

$N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$y (2 x + 3 y)$ 을 전개합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \int y (2 x) + y (3 y) d y$

단계 5.1.2

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \int y \cdot 2 x + y (3 y) d y$

단계 5.1.3

$y$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y (3 y) d y$

단계 5.1.4

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y \cdot 3 y d y$

단계 5.1.5

$y$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y \cdot y d y$

단계 5.1.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y) d y$

단계 5.1.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) d y$

단계 5.1.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{1 + 1} d y$

단계 5.1.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{2} d y$

단계 5.1.10

$2 y x$ 와 $3 y^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 y x d y$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y x d y$

단계 5.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y x d y$

단계 5.4

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y x d y$

단계 5.5

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2 x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x \int y d y$

단계 5.6

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 5.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 5.8

간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.8.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = 1 y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.3

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.4

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{3} + x \frac{2}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.5

$x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{x \cdot 2}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.6

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 \cdot x}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.7

$2$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.8.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

단계 5.8.8.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [y^{3} + x y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.2

미분합니다.

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단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{3} + x y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.2.2

$y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{3}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.3.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$0$ 를 $y^{2}$ 에 더합니다.

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

단계 9.1.2

$6 x + y^{2} - y^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

단계 9.1.2.2

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

단계 10

$6 x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 6 x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 6 x d x$

단계 10.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 6 \int x d x$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

$6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (x) = 3 x^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + 3 x^{2} + C$