미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y + 2$ 을 곱합니다.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

단계 1.2

$y + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

단계 2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

단계 4.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1.1.1

$2^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

단계 4.3.1.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

단계 4.3.1.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

단계 4.3.1.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 1 + K = 2 + 4$

단계 4.3.1.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 1 + K = 6$

단계 4.4

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$K = 6 + 1$

단계 4.4.2

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$K = 7$

단계 5

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ 의 $K$ 에 $7$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $7$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$