미적분 예제

$\frac{d z}{d t} = 8 t e^{z}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{e^{z}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{1}{e^{z}} (8 t e^{z})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = 8 \frac{1}{e^{z}} (t e^{z})$

단계 1.2.2

$8$ 와 $\frac{1}{e^{z}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (t e^{z})$

단계 1.2.3

$e^{z}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$t e^{z}$ 에서 $e^{z}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (e^{z} t)$

단계 1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (e^{z} t)$

단계 1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = 8 t$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{z}} d z = 8 t d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{z}} d z = \int 8 t d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$e^{z}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{z})}^{- 1} d z = \int 8 t d t$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

${(e^{z})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{z \cdot - 1} d z = \int 8 t d t$

단계 2.2.1.2.1.2

$z$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int 1 e^{- 1 \cdot z} d z = \int 8 t d t$

단계 2.2.1.2.1.3

$- 1 z$ 을 $- z$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 1 e^{- z} d z = \int 8 t d t$

단계 2.2.1.2.2

$e^{- z}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{- z} d z = \int 8 t d t$

단계 2.2.2

먼저 $u = - z$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d z$ 이므로 $- d u = d z$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = - z$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d z}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$- z$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d z} [- z]$

단계 2.2.2.1.2

$- 1$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $- z$ 의 미분은 $- \frac{d}{d z} [z]$ 입니다.

$- \frac{d}{d z} [z]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 2.2.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - e^{u} d u = \int 8 t d t$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int e^{u} d u = \int 8 t d t$

단계 2.2.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 8 t d t$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$- e^{u} + C_{1} = \int 8 t d t$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $- z$ 로 바꿉니다.

$- e^{- z} + C_{1} = \int 8 t d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- e^{- z} + C_{1} = 8 \int t d t$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$- e^{- z} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ 을 $8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- e^{- z} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$8$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{- z} + C_{1} = 4 t^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$

단계 3

$z$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- e^{- z}}{- 1} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{e^{- z}}{1} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.2.2

$e^{- z}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- z} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$\frac{4 t^{2}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e^{- z} = - 1 \cdot (4 t^{2}) + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot (4 t^{2})$ 을 $- (4 t^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- z} = - (4 t^{2}) + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- z} = - 4 t^{2} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.4

$\frac{K}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e^{- z} = - 4 t^{2} - 1 \cdot K$

단계 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot K$ 을 $- K$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- z} = - 4 t^{2} - K$

단계 3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- z}) = \ln (- 4 t^{2} - K)$

단계 3.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- z$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- z})$ 을 전개합니다.

$- z \ln (e) = \ln (- 4 t^{2} - K)$

단계 3.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- z \cdot 1 = \ln (- 4 t^{2} - K)$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$

단계 3.4

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- z}{- 1} = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{z}{1} = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

단계 3.4.2.2

$z$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$z = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$\frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$z = - 1 \cdot \ln (- 4 t^{2} - K)$

단계 3.4.3.2

$- 1 \cdot \ln (- 4 t^{2} - K)$ 을 $- \ln (- 4 t^{2} - K)$ 로 바꿔 씁니다.

$z = - \ln (- 4 t^{2} - K)$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$z = - \ln (- 4 t^{2} + K)$