미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

단계 1

베르누이 방법에 맞도록 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

단계 1.2

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{6}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 5}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{5}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- \frac{1}{5}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

단계 5.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

단계 5.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

단계 5.4.2

${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2

$\frac{1}{5}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{5}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.4.4.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.5.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.5.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.7

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.9.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.11

$\frac{1}{5}$ 와 $v^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.14

$\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.15

$\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

단계 5.16

$\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ 에 $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

단계 5.17

지수를 더하여 $v^{\frac{4}{5}}$ 에 $v^{\frac{2}{5}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.17.1

$v^{\frac{2}{5}}$ 를 옮깁니다.

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

단계 5.17.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

단계 5.17.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

단계 5.17.4

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{5}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ 의 각 항에 $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ 의 각 항에 $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1

$5 v^{\frac{6}{5}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.2

$- (5 v^{\frac{6}{5}})$ 에서 $5 v^{\frac{6}{5}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.5

지수를 더하여 $v^{- \frac{1}{5}}$ 에 $v^{\frac{6}{5}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.5.1

$v^{\frac{6}{5}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.4

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.5

$5$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.6

$- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.7

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.8

$- 5$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.10

$v$ 와 $\frac{5}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.2.1.11

$v$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

단계 7.1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.3.2

$- \frac{1}{5} \cdot 6$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.2.1

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.3.2.2

$- 6$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{6}{5}}$ 에 $v^{\frac{6}{5}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.4.1

$v^{\frac{6}{5}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

단계 7.1.1.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

단계 7.1.1.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

단계 7.1.1.3.4.4

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

단계 7.1.1.3.4.5

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

단계 7.1.1.3.5

$- 5 x^{2} v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

단계 7.1.2

$- \frac{5 v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

단계 7.1.3

$v$ 와 $- \frac{5}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{5}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

단계 7.2.2

$- \frac{5}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

단계 7.2.2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 7.2.2.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

단계 7.2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 5 \ln (x)}$

단계 7.2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

단계 7.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 5}$

단계 7.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{5}}$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ 와 $\frac{d v}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2.3

$\frac{5}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.1

$\frac{5 v}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1

$x$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.2.4.2.2

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

단계 7.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

단계 7.3.4

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

단계 7.3.5

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.5.1

$x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

단계 7.3.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

단계 7.3.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

단계 7.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

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단계 7.7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

단계 7.7.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

단계 7.7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

단계 7.7.3.2

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 7.7.3.3

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 7.7.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 7.7.3.3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

단계 7.7.4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

단계 7.7.5

답을 간단히 합니다.

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단계 7.7.5.1

간단히 합니다.

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단계 7.7.5.1.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

단계 7.7.5.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

단계 7.7.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

단계 7.7.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.3.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 7.7.5.3.2

$5$ 와 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

단계 7.8

$v$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 7.8.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{5}{2 x^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

단계 7.8.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

단계 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{5}}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

단계 7.8.2

$v$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 7.8.2.1

방정식의 양변에 $\frac{5}{2 x^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

단계 7.8.2.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

단계 7.8.3

양변에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

단계 7.8.4

간단히 합니다.

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단계 7.8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1.1

$x^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

단계 7.8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

단계 7.8.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.8.4.2.1

$(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

단계 7.8.4.2.1.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

단계 7.8.4.2.1.2.2

$x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

단계 7.8.4.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

단계 7.8.4.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

단계 7.8.4.2.1.3

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

단계 7.8.4.2.1.4

$\frac{5 x^{3}}{2}$ 와 $C x^{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

단계 8

$v$ 에 $y^{- 5}$ 를 대입합니다.

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$