미적분 예제

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = 3 x - 2 y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 2.2.2

$3 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

단계 2.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

단계 3

$N (x, y) = x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- 2 = 1$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 = 1$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 - 1}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $x$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 - 1}{x}$

단계 5.3.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3}{x}$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{x}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

단계 6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 6.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 6.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 6.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

단계 6.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

단계 6.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

단계 6.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

단계 7

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$3 x - 2 y$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

단계 7.2

$3 x - 2 y$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

단계 7.3

$x$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

단계 7.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

단계 7.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

단계 7.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

단계 9

$N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

단계 9.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{y}{x^{2}}$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.5.2

항을 묶습니다.

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단계 12.5.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.5.2.3

$y$ 와 $\frac{2}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.5.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 12.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.3.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.4

$- 2 y - 3 x + 2 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.1.4.1

$- 2 y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.4.2

$- 3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.5.1

$x$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.1.5.1.1

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

단계 13.1.1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.1.5.1.2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

단계 13.1.1.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

단계 13.1.1.5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

단계 13.1.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

단계 13.1.2

방정식의 양변에 $\frac{3}{x^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

단계 14

$\frac{3}{x^{2}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 14.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 14.4

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 14.5

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 14.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 14.5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

단계 14.6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

단계 14.7

답을 간단히 합니다.

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단계 14.7.1

$3 (- x^{- 1} + C)$ 을 $3 (- \frac{1}{x}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

단계 14.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.7.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

단계 14.7.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

단계 14.7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$