미적분 예제

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 x y - x$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $2 x y - x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$- x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

단계 1.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

단계 2

$N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

단계 2.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x$ 을 대입합니다.

$2 x = 2 x$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 x = 2 x$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

단계 5

$M (x, y) = 2 x y - x$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

단계 5.2

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

단계 5.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 5.7

간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 5.7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 5.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 5.7.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 5.7.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 5.7.5

공통 분모를 가지는 분수로 $y x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 5.7.6

$y x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 5.7.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

단계 5.7.8

$y x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

단계 5.7.9

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

단계 5.8

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $2 y x^{2} - x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.3

$2 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y x^{2}$ 의 미분은 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.5

$- x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- x^{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.7

$2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.8

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.9

$\frac{2}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.3.10.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

단계 9.1.2

$y^{2} + x^{2} - x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

단계 9.1.2.2

$y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

단계 10

$y^{2}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int y^{2} d y$

단계 10.3

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.2.1

$2 y x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $y x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.5

$y x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1.7.1

$y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.1.7.1.1

$y x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.7.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.7.1.3

$x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.7.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 12.1.8

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

단계 12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

단계 12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y^{3}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 12.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 12.4.1

$\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 12.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 12.4.3

$\frac{y^{3}}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

단계 12.4.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.6

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

단계 12.6.8

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$