미적분 예제

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = - 5 x$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

단계 2.2

$- 5 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 5 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 5 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

단계 3

$N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

단계 3.3.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$4 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

단계 3.4.2

$y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{2}$ 을 대입합니다.

$0 = y^{2}$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$0 = y^{2}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $x y^{2} + 4 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

단계 5.3.2

$0$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

단계 5.3.3

$x y^{2} + 4 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.3.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

단계 5.3.3.2

$4 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

단계 5.3.3.3

$y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

단계 5.3.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

단계 5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{x + 4}$

단계 5.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x + 4}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

단계 6.2

먼저 $u = x + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.2.1

$u = x + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.2.1.1

$x + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 6.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 6.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 6.2.1.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

단계 6.3

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

단계 6.4

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

단계 6.5

$u$ 를 모두 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

단계 6.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (| x + 4 |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

단계 6.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

단계 6.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

단계 7

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x + 4}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$- 5 x$ 에 $\frac{1}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

단계 7.2

$- 5 x \frac{1}{x + 4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x + 4}$ 을 묶습니다.

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

단계 7.2.2

$x$ 와 $\frac{- 5}{x + 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

단계 7.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

단계 7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

단계 7.5

$x y^{2} + 4 y^{2}$ 에 $\frac{1}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

단계 7.6

$x y^{2} + 4 y^{2}$ 에 $\frac{1}{x + 4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

단계 7.7

$x y^{2} + 4 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.7.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

단계 7.7.2

$4 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

단계 7.7.3

$y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

단계 7.8

$x + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.8.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

단계 7.8.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

단계 9

$N (x, y) = y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

단계 12.3

$\frac{1}{3} y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{3} y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

단계 12.5

$0$ 를 $\frac{d g}{d x}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

단계 13

$- \frac{5 x}{x + 4}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

단계 13.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

단계 13.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

단계 13.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

단계 13.6

$x$ 을 $x + 4$ 로 나눕니다.

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단계 13.6.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$x$

$0$

단계 13.6.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

단계 13.6.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

단계 13.6.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

단계 13.6.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

단계 13.6.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

단계 13.7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

단계 13.8

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

단계 13.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

단계 13.10

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

단계 13.11

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

단계 13.12

먼저 $u = x + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 13.12.1

$u = x + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 13.12.1.1

$x + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 13.12.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 13.12.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 13.12.1.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 13.12.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 13.12.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 13.13

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

단계 13.14

간단히 합니다.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

단계 13.15

$u$ 를 모두 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

단계 15.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.2.1

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (| x + 4 |)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

단계 15.1.2.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x + 4 |}^{4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

단계 15.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

단계 15.1.4

$- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ 을 곱합니다.

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단계 15.1.4.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

단계 15.1.4.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

단계 15.1.5

${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 15.1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

단계 15.1.5.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln ({(x + 4)}^{20})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

단계 15.3

$\ln ({(x + 4)}^{20})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

단계 15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

단계 15.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.5.1

$\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ 을 곱합니다.

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단계 15.5.1.1

$\ln ({(x + 4)}^{20})$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

단계 15.5.1.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

단계 15.5.2

${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 15.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

단계 15.5.2.2

$20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$