미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 1}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sqrt{x - 1}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

단계 2.3.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

단계 2.3.3

$\frac{2}{3} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$\frac{2}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

단계 2.3.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

단계 2.3.5

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.5.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.5.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2.3.5.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.5.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 1) d u$

단계 2.3.6

$u^{\frac{3}{2}} (u + 1)$ 을 전개합니다.

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단계 2.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u$

단계 2.3.6.2

$u^{\frac{3}{2}}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.6.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.6.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.6.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.6.7

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.6.8

$u^{\frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 2.3.7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 2.3.8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{5}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{2} + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 2.3.9

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{2} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{3})$

단계 2.3.10

간단히 합니다.

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단계 2.3.10.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

단계 2.3.10.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.10.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

단계 2.3.10.2.2

$\frac{2 x^{2}}{3}$ 와 ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

단계 2.3.10.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.4

$- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.6

$\frac{2}{7}$ 와 $u^{\frac{7}{2}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.7

$\frac{2}{5}$ 와 $u^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.9

$- 3$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.10

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.11

$- 12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.10.2.11.1

$- 12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.10.2.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.10.2.11.2.4

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.11

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

단계 2.3.12

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + K$