미적분 예제

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

단계 1.2

$x^{2} + \frac{1}{36}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{36}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

단계 2.2.2

$\frac{1}{36}$ 을 ${(\frac{1}{6})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

단계 2.2.3

$\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ 입니다.

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$\frac{1}{6}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.4.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.4.3

$\frac{1}{6}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.4.4

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$6 \arctan (6 x) = t + K$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6 \arctan (6 x) = t + K$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$6 \arctan (6 x) = t + K$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

단계 3.1.2.1.2

$\arctan (6 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

단계 3.2

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $x$ 을 꺼냅니다.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

단계 3.3

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

단계 3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $x$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

단계 6.2

방정식의 양변에 $6$ 을 곱합니다.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

단계 6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

단계 6.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

단계 6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

단계 6.4

탄젠트 안의 $K$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

단계 6.5

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$\frac{0}{6} + K$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1.1

$0$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$0 + K = \arctan (12)$

단계 6.5.1.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = \arctan (12)$

단계 6.6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$\arctan (12)$ 의 값을 구합니다.

$K = 1.48765509$

단계 6.7

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

단계 6.8

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

괄호를 제거합니다.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

단계 6.8.2

괄호를 제거합니다.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

단계 6.8.3

$3.14159265$ 를 $1.48765509$ 에 더합니다.

$K = 4.62924774$

단계 6.9

$\tan (\frac{0}{6} + K)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 6.9.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 6.9.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 6.9.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 6.10

함수 $\tan (\frac{0}{6} + K)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$

단계 6.11

$1.48765509 + π n$ , $4.62924774 + π n$ 를 $1.48765509 + π n$ 에 통합합니다.

$K = 1.48765509 + π n$

단계 7

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ 의 $K$ 에 $1.48765509 + π n$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $1.48765509 + π n$ 를 대입합니다.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$