미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x \sin (x))}{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = x \sin (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$u = x$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

단계 2.3.3.2

$\int \cos (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

단계 2.3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

단계 2.3.5

$x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ 을 $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

단계 3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

단계 3.4

$- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- 2 x \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

단계 3.4.2

$2 \sin (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

단계 3.4.3

$2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

단계 3.4.4

$2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

단계 3.4.5

$2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$