미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\ln (| x |)$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

단계 3.2

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{3}$ 을 $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

단계 3.3.1.1.2

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

단계 3.3.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

단계 3.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

단계 3.6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

단계 3.6.2

양변에 ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

단계 3.6.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

${| x |}^{\frac{1}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

단계 3.6.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

단계 3.6.4

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$