미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

단계 1

$\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에 $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

단계 1.1.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

단계 1.2

$\frac{3 y}{2 t + 25}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

단계 1.3

$y$ 와 $\frac{3}{2 t + 25}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

단계 2.2

$\frac{3}{2 t + 25}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

단계 2.2.2

먼저 $u = 2 t + 25$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = 2 t + 25$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$2 t + 25$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

단계 2.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 t + 25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

단계 2.2.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

단계 2.2.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

단계 2.2.2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

단계 2.2.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.4.1

$25$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.2.2.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

단계 2.2.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

단계 2.2.5

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

단계 2.2.8

$u$ 를 모두 $2 t + 25$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{3}{2 t + 25}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.2

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{3 y}{2 t + 25}$ 을 묶습니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.3

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ 에서 $2 t + 25$ 를 인수분해합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$1$ 을 곱합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.4.4

${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

단계 3.3

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

단계 3.4

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

단계 6

좌변을 적분합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

단계 7.2

먼저 $u = 2 t + 25$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$u = 2 t + 25$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2 t + 25$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

단계 7.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 t + 25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

단계 7.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

단계 7.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

단계 7.2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

단계 7.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.4.1

$25$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$2 + 0$

단계 7.2.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 7.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

단계 7.3

$u^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

단계 7.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 7.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.1

공약수로 약분합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 7.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 7.5.3

$\int u^{\frac{3}{2}} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 7.6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 7.7

$u$ 를 모두 $2 t + 25$ 로 바꿉니다.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 8

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ 의 각 항을 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ 의 각 항을 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.2

$\frac{2}{5}$ 와 ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$C$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.5

$C$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3.7

$\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ 에 $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$