미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ 를 나누어 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

단계 1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

단계 1.1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

단계 1.1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

단계 1.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}} + \frac{y}{x}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - V^{2}} + V$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \sqrt{1 - V^{2}} + V$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \sqrt{1^{2} - V^{2}} + V$

단계 6.1.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = V$ 입니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \sqrt{(1 + V) (1 - V)} + V$

단계 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)} + V - V$

단계 6.1.1.2.2

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)} + V - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)} + 0$

단계 6.1.1.2.2.2

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.3

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

단계 6.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + V) (1 - V)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

단계 6.2.2.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

단계 6.2.2.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

단계 6.2.2.1.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

단계 6.2.2.1.1.2.1.2

$- V$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

단계 6.2.2.1.1.2.1.3

$V$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - V + V + V (- V)$

단계 6.2.2.1.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 - V + V - V \cdot V$

단계 6.2.2.1.1.2.1.5

지수를 더하여 $V$ 에 $V$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.2.1.5.1

$V$ 를 옮깁니다.

$1 - V + V - (V \cdot V)$

단계 6.2.2.1.1.2.1.5.2

$V$ 에 $V$ 을 곱합니다.

$1 - V + V - V^{2}$

단계 6.2.2.1.1.2.2

$- V$ 를 $V$ 에 더합니다.

$1 + 0 - V^{2}$

단계 6.2.2.1.1.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 - V^{2}$

단계 6.2.2.1.1.3

$1$ 와 $- V^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- V^{2} + 1$

단계 6.2.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

단계 6.2.2.1.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 6.2.2.1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

단계 6.2.2.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.4.2.1

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.4.2.1.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

단계 6.2.2.1.4.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 0$

단계 6.2.2.1.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ 을 $- 0$ 로 바꿔 씁니다.

$d = - 0$

단계 6.2.2.1.4.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$d = 0$

단계 6.2.2.1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 6.2.2.1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

단계 6.2.2.1.5.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

단계 6.2.2.1.5.2.1.3

$0$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$e = 1 - 0$

단계 6.2.2.1.5.2.1.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e = 1 + 0$

단계 6.2.2.1.5.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e = 1$

단계 6.2.2.1.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(V + 0)}^{2} + 1$ 에 대입합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

먼저 $u = V + 0$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$u = V + 0$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

$V + 0$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

단계 6.2.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $V + 0$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

단계 6.2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 는 $n V^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

단계 6.2.2.2.1.4

$0$ 이 $V$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.2.2.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3.2

$- u^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (u)$ 입니다

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.5

$u$ 를 모두 $V + 0$ 로 바꿉니다.

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.6

$V$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

단계 6.3

역사인 안의 $V$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 역사인의 역을 취합니다.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

단계 8

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$\sin (\ln (| x |) + C) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$