미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

단계 1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

단계 2.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$e^{2 - x^{3}}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

단계 2.3.2.2

${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

단계 2.3.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

단계 2.3.2.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

단계 2.3.2.2.4

$- x^{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

단계 2.3.2.2.4.2

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

단계 2.3.3

먼저 $u = - 2 + x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$u = - 2 + x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$- 2 + x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

단계 2.3.3.1.2

합의 법칙에 의해 $- 2 + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.3.1.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.3.1.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 x^{2}$

단계 2.3.3.1.5

$0$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 2.3.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 2.3.4

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 2.3.5

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

단계 2.3.6.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

단계 2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

단계 2.3.6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

단계 2.3.6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

단계 2.3.6.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

단계 2.3.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.9

$u$ 를 모두 $- 2 + x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ 을 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

단계 6

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

단계 6.2.2

$- 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

단계 6.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

단계 6.2.4

$2$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

단계 6.3

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ 의 각 항을 $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ 의 각 항을 $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ 로 나눕니다.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

단계 6.3.2.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

단계 7

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 의 $C$ 에 $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$C$ 에 $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

단계 7.2

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ 와 $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

단계 7.3

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ 에서 $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

단계 7.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

단계 7.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

단계 7.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

단계 7.4.4

$e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

단계 7.5.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

단계 7.5.1.3

$2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

단계 7.5.2

지수를 더하여 $e^{- 2 + x^{3}}$ 에 $e^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

단계 7.5.2.2

$- 2 + x^{3} + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

단계 7.5.2.2.2

$x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$