미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

단계 1

$v = \frac{d y}{d x}$ 로 두면 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 입니다. $v$ 를 $\frac{d y}{d x}$ 에 대입하고, $\frac{d v}{d x}$ 를 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 에 대입하여 종속 변수 $v$ 와 독립 변수 $x$ 로 미분 방정식을 구합니다.

$\frac{d v}{d x} = v$

단계 2

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

양변에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

단계 2.2

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

단계 2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

단계 2.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

단계 3.2

$\frac{1}{v}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $\ln (| v |)$ 입니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

단계 3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C_{3}$ 로 묶습니다.

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

단계 4

$v$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$v$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

단계 4.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| v |) = x + C_{3}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x + C_{3}} = | v |$

단계 4.3

$v$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.1

$| v | = e^{x + C_{3}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| v | = e^{x + C_{3}}$

단계 4.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 5.1

$e^{x + C_{3}}$ 을 $e^{x} e^{C_{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

단계 5.2

$e^{x}$ 와 $e^{C_{3}}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$v = C_{4} e^{x}$

단계 6

$v$ 를 모두 $\frac{d y}{d x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

단계 7

식을 다시 씁니다.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

단계 8

양변을 적분합니다.

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단계 8.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

단계 8.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

단계 8.3

우변을 적분합니다.

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단계 8.3.1

$C_{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $C_{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

단계 8.3.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

단계 8.3.3

간단히 합니다.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

단계 8.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

단계 8.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$y = e^{x} C + D$