미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

단계 1

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 3

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 4

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

단계 5

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

단계 5.1.1.1.2

$- V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

단계 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

단계 5.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

단계 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

단계 5.1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

단계 5.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

단계 5.1.3

양변에 $\frac{1}{3 - 2 V}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

단계 5.1.4

$3 - 2 V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

단계 5.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 5.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 5.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

먼저 $u = 3 - 2 V$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d V$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$u = 3 - 2 V$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

$3 - 2 V$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

단계 5.2.2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - 2 V$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

단계 5.2.2.1.1.2.2

$3$ 이 $V$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

단계 5.2.2.1.1.3

$\frac{d}{d V} [- 2 V]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.3.1

$- 2$ 은 $V$ 에 대해 일정하므로 $V$ 에 대한 $- 2 V$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

단계 5.2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 는 $n V^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 5.2.2.1.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 5.2.2.1.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 5.2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.2.7

$u$ 를 모두 $3 - 2 V$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 5.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 5.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

단계 5.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

$\ln (| 3 - 2 V |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.1.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.1.1.3.2

$\ln (| 3 - 2 V |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 5.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

단계 5.3.3

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

단계 5.3.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

단계 5.3.4.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

단계 5.3.4.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

단계 5.3.4.1.3

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

단계 5.3.5

$V$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

단계 5.3.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

단계 5.3.7

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

단계 5.3.7.2

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.2.1

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 5.3.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.2.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 5.3.7.2.2.1.2

$| 3 - 2 V |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 5.3.7.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

단계 5.3.7.4

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

단계 5.3.7.5

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.5.1

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 5.3.7.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.5.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 5.3.7.5.2.1.2

$V$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 5.3.7.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 5.3.7.5.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

단계 5.4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

단계 5.4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

단계 6

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

단계 7

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1.1

$C$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.2.1.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.2.1.1.3

조합합니다.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.2.1.1.4

$C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.2.1.1.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

단계 7.2.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

단계 7.2.2.1.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.2.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

단계 7.2.2.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

단계 7.2.2.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

단계 7.2.2.1.2.3

$\frac{3}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

단계 7.2.2.1.2.4

$\frac{C}{2 x}$ 와 $\frac{3 x}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$