미적분 예제

$x^{2} d x + 2 y d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{2} d x$ 를 뺍니다.

$2 y d y = - x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 2 y d y = \int - x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int y d y = \int - x^{2} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 을 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

단계 2.2.3.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

단계 2.3.3

$- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$

단계 3.2

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K}$

단계 3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.2.3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$K$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.4

$K$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$

단계 3.2.5

$\sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$

단계 3.2.6

$\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 3.2.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.2.7.1

$\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 3.2.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 3.2.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 3.2.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 3.2.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 3.2.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.2.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.2.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.2.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.2.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 3.2.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

단계 3.2.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

단계 3.2.9

$\pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 3.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 3.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$