미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x - 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = (x - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int x - 1 d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$3$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$\frac{3 x^{2}}{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

단계 3.4.1.2

$- 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

단계 3.4.1.3

$3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

단계 3.4.1.4

$3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K}$

단계 3.4.1.5

$3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + K)}$

단계 3.4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$- x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + K)}$

단계 3.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + K)}$

단계 3.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$x^{2} - x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + K)}$

단계 3.4.4.1.2

$- x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

단계 3.4.4.1.3

$x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

단계 3.4.4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K)}$

단계 3.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $K$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

단계 3.4.6

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$K$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

단계 3.4.6.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x (x - 2) + K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.7.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.7.4

$K$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}}$

단계 3.4.8

$3$ 와 $\frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$

단계 3.4.9

$\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

단계 3.4.10

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.4.11

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.4.11.2

$\sqrt[3]{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.4.11.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

단계 3.4.11.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

단계 3.4.11.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.4.11.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.11.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.4.11.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

단계 3.4.11.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

단계 3.4.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

단계 3.4.12.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

단계 3.4.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K) \cdot 4}}{2}$

단계 3.4.13.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$