미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $e^{3 y + 9}$ 을 곱합니다.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

단계 1.2

$e^{3 y + 9}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 3 y + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d y$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 3 y + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$3 y + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 y + 9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

단계 2.2.1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

단계 2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

$9$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$3 + 0$

단계 2.2.1.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

단계 2.2.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

단계 2.2.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $3 y + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 y + 9}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

$3$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$3 y + 9$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{3 y + 9})$ 을 전개합니다.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

단계 3.4.3

$3 y + 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

단계 3.5

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

단계 3.6

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

단계 3.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

단계 3.6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

단계 3.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

$- 9$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$