미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1 + x}{1 + y}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

단계 1.2

양변에 ${(1 + y)}^{2}$ 을 곱합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

${(1 + y)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

공약수로 약분합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

단계 1.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

단계 1.3.2

${(1 + x)}^{2}$ 을 $(1 + x) (1 + x)$ 로 바꿔 씁니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

단계 1.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 + x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

단계 1.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

단계 1.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

단계 1.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

단계 1.3.4.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

단계 1.3.4.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

단계 1.3.4.1.4

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

단계 1.3.4.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 1 + y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 1 + y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$1 + y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 2.2.1.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $1 + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${(1 + y)}^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

단계 3.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$