미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 1.3

$\frac{2 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 1.4

$y$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{2}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{2}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{2})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{2}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{2}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

단계 3.4

$x$ 와 $\frac{\sin (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

단계 3.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

단계 3.5.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

단계 8

$x^{2} y = - \cos (x) + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x^{2} y = - \cos (x) + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ 에서 $x$ 에 $2$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

단계 10

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

단계 10.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

$\cos (2)$ 의 값을 구합니다.

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

단계 10.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

단계 10.2.1.3

$0.99939082$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

단계 10.2.1.4

$- 1$ 에 $0.2498477$ 을 곱합니다.

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

단계 10.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

단계 10.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

방정식의 양변에 $0.2498477$ 를 더합니다.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

단계 10.3.2

$1$ 를 $0.2498477$ 에 더합니다.

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

단계 10.4

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

단계 10.5

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

단계 10.5.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

단계 10.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

$4$ 에 $1.2498477$ 을 곱합니다.

$C = 4.99939082$

단계 11

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ 의 $C$ 에 $4.99939082$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$C$ 에 $4.99939082$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$