미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

단계 2.3.3

$24$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $24$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

단계 2.3.4

$24$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

단계 2.3.5

먼저 $u = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$u = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 2.3.5.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.5.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.3.5.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.3.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$\frac{1}{u^{3}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

단계 2.3.6.2

$u^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

단계 2.3.7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

단계 2.3.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 24$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2.3.8.1.2

$- 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1.2.1

$- 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2.3.8.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2.3.8.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2.3.8.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2.3.8.1.2.2.4

$- 12$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2.3.8.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.1

$u^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

단계 2.3.8.2.2

${(u^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

단계 2.3.8.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

단계 2.3.9

멱의 법칙에 의해 $u^{- 3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

단계 2.3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.1.1

$u^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

단계 2.3.10.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

단계 2.3.10.2

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

단계 2.3.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.3.1

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

단계 2.3.10.3.2

$12$ 와 $\frac{1}{2 u^{2}}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

단계 2.3.10.3.3

$12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.3.3.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

단계 2.3.10.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.10.3.3.2.1

$2 u^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

단계 2.3.10.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

단계 2.3.10.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

단계 2.3.11

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$