미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

조합합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

단계 1.2.2

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

단계 1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{x^{2}}$

단계 1.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2.1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.2.3.2.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$4 (- x^{- 1} + C_{2})$ 을 $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 y^{2}, x, 1$

단계 3.1.2

$2 y^{2}, x, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $2, 1, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{2}, x^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.1.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.1.4

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 3.1.5

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.1.6

$2, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 3.1.7

$y^{2}$ 의 인수는 $y \cdot y$ 이며 $y$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ 는 $2$ 번 나타납니다.

단계 3.1.8

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x^{1} = x$

$x$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.1.9

$y^{2}, x^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y \cdot y \cdot x$

단계 3.1.10

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} x$

단계 3.1.11

$2 y^{2}, x, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 y^{2} x$

단계 3.2

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ 의 각 항에 $2 y^{2} x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ 의 각 항에 $2 y^{2} x$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.2.1.2

$2 y^{2} x$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (x)) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- x = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1.1

$- \frac{4}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- x = \frac{- 4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.3.1.1.2

$2 y^{2} x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.3.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.3.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- x = - 4 (2 y^{2}) + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.3.1.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- x = - 8 y^{2} + K (2 y^{2} x)$

단계 3.2.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- x = - 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$

단계 3.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$

단계 3.3.2

$- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- 8 y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y^{2} (- 4) + 2 K y^{2} x = - x$

단계 3.3.2.2

$2 K y^{2} x$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x) = - x$

단계 3.3.2.3

$2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x)$ 에서 $2 y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$

단계 3.3.3

$2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ 의 각 항을 $2 (- 4 + K x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ 의 각 항을 $2 (- 4 + K x)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

단계 3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

단계 3.3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

단계 3.3.3.2.2

$- 4 + K x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

단계 3.3.3.2.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

단계 3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 4 + K x)}$

단계 3.3.3.3.2

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) + K x)}$

단계 3.3.3.3.3

$K x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) - (- K x))}$

단계 3.3.3.3.4

$- 1 (4) - (- K x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4 - K x))}$

단계 3.3.3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.5.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - - \frac{x}{2 (4 - K x)}$

단계 3.3.3.3.5.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 1 \frac{x}{2 (4 - K x)}$

단계 3.3.3.3.5.3

$\frac{x}{2 (4 - K x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \frac{x}{2 (4 - K x)}$

단계 3.3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$

단계 3.3.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$\sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ 을 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

단계 3.3.5.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

단계 3.3.5.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

단계 3.3.5.3.2

$\sqrt{2 (4 - K x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

단계 3.3.5.3.3

$\sqrt{2 (4 - K x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} {\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1}}$

단계 3.3.5.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1 + 1}}$

단계 3.3.5.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}}$

단계 3.3.5.3.6

${\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}$ 을 $2 (4 - K x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 (4 - K x)}$ 을(를) ${(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{({(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.3.5.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.3.5.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.3.5.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{1}}$

단계 3.3.5.3.6.5

간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

단계 3.3.5.4

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

단계 3.3.5.5

$\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

단계 3.3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.