미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

단계 1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

단계 1.2

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

단계 3.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

단계 7.2

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

단계 7.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

단계 7.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

단계 7.5

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

단계 7.6

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

단계 7.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

단계 7.8

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

단계 7.9

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

단계 7.10

간단히 합니다.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

단계 8

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

단계 8.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

단계 8.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

단계 8.3.3

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 8.3.3.1

$- 2 x e^{x}$ 를 $2 x e^{x}$ 에 더합니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

단계 8.3.3.2

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

단계 8.3.3.3

$2 e^{x}$ 에서 $2 e^{x}$ 을 뺍니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

단계 8.3.3.4

$x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$