미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \cos^{2} (x)$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.3.1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int - 1 u^{2} d u$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int u^{2} d u$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

단계 2.3.4

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.5

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + K$