미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 1$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 1 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

단계 2.3

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

단계 2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

단계 2.3.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

단계 2.4

$e^{0} x$ 을 간단히 합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

단계 2.5

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{- x} y = \int x d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 7

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $e^{- x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{- x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.3.1.3

조합합니다.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

단계 7.3.1.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$