미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

단계 2.2

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

단계 6.2

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

단계 7

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

단계 9.2

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

단계 9.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.2.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

단계 9.2.2.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 + C = 3$

단계 9.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.3.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$C = 3 + 1$

단계 9.3.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C = 4$

단계 10

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ 의 $C$ 에 $4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$C$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$