미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 3 x^{- 2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$3 (- x^{- 1} + C_{2})$ 을 $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - \frac{3}{x} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{3}{x} + K$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$2 = - \frac{3}{1} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- \frac{3}{1} + K = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{1} + K = 2$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

단계 4.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 + K = 2$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$K = 2 + 3$

단계 4.3.2

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$K = 5$

단계 5

$y = - \frac{3}{x} + K$ 의 $K$ 에 $5$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{3}{x} + 5$