미적분 예제

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x - 6 y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 6 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

단계 1.2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 6 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 6$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 6 y$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

단계 1.4

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

단계 2

$N (x, y) = 5 x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

단계 2.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 6$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$- 6 = 5$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 6 = 5$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 6$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 - 5}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $5 x$ 를 대입합니다.

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단계 4.3.1

$N$ 에 $5 x$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

단계 4.3.2

$- 6$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{- 11}{5 x}$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{11}{5 x}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

단계 5.2

$\frac{11}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{11}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 5.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

단계 5.4

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

단계 5.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.1.1

$\ln (| x |)$ 와 $\frac{11}{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

단계 5.5.1.2

$\frac{11}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

단계 5.5.2

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

단계 5.5.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

단계 5.5.4

${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.5.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

단계 5.5.4.2

$\frac{11}{5} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.4.2.1

$\frac{11}{5}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

단계 5.5.4.2.2

$11$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

단계 5.5.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

단계 5.5.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

단계 6

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x - 6 y$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 곱합니다.

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

단계 6.2

$x - 6 y$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

단계 6.3

$5 x$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

단계 6.4

$5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

$5$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

단계 6.4.2

$x$ 와 $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

단계 6.5

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

단계 6.6

지수를 더하여 $x^{\frac{11}{5}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 6.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

단계 6.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

단계 6.6.3

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

단계 6.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

단계 6.6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.6.5.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

단계 6.6.5.2

$11$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

단계 8

$N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

단계 8.2

$\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$5 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ 의 미분은 $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ 입니다.

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 을 ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{6}{5}}$ 로 바꿉니다.

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{6}{5}}$ 로 바꿉니다.

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.4

$n = \frac{6}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.5

${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.5.2

$\frac{6}{5} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.5.2.1

$\frac{6}{5}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.5.2.2

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.7

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.9.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.9.2

$6$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.10

$\frac{6}{5}$ 와 $x^{\frac{1}{5}}$ 을 묶습니다.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.11

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ 와 $x^{- \frac{12}{5}}$ 을 묶습니다.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.12

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{5}}$ 에 $x^{- \frac{12}{5}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.12.1

$x^{- \frac{12}{5}}$ 를 옮깁니다.

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.12.4

$- 12$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{11}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.14

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.15

$- 5$ 와 $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ 을 묶습니다.

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.16

$- 5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.17

$y$ 와 $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.18

$y$ 의 왼쪽으로 $- 30$ 이동하기

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.19

$- 30 y$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.20

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.20.1

$5 x^{\frac{11}{5}}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.20.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.20.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.3.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1.1

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.2.2

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.3

$- 6 y - x + 6 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.1.3.1

$- 6 y$ 를 $6 y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.3.2

$- x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

단계 12.1.1.4.2

지수를 더하여 $x^{\frac{11}{5}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.1.4.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

단계 12.1.1.4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.4.2.3

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.4.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1.1.4.2.5.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.4.2.5.2

$11$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

단계 12.1.1.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에 $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

단계 13

$\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

단계 13.3

$x^{\frac{6}{5}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

단계 13.4

${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 13.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

단계 13.4.2

$\frac{6}{5} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 13.4.2.1

$\frac{6}{5}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

단계 13.4.2.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

단계 13.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

단계 13.5

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{6}{5}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ 가 됩니다.

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

단계 13.6

답을 간단히 합니다.

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단계 13.6.1

$- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ 을 $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

단계 13.6.2

간단히 합니다.

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단계 13.6.2.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

단계 13.6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$