미적분 예제

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

단계 1

양변을 $t$ 에 대하여 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수가 $t$ 에 대한 2차 도함수의 적분과 같습니다.

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

단계 1.2

먼저 $u_{1} = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$u_{1} = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 1.2.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 1.3

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

단계 1.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 1.5

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

단계 1.6

간단히 합니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

단계 1.7

$u_{1}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

단계 2

식을 다시 씁니다.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

단계 3

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

단계 3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

단계 3.3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

단계 3.3.3

먼저 $u_{2} = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$u_{2} = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 3.3.3.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.3.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 3.3.3.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 3.3.3.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

단계 3.3.4

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

단계 3.3.5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

단계 3.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

단계 3.3.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

단계 3.3.7

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

단계 3.3.8

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

단계 3.3.9

간단히 합니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

단계 3.3.10

$u_{2}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $D$ 로 묶습니다.

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$