미적분 예제

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 1

문제를 수학식으로 표현합니다.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = 2 x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

단계 2.2

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

단계 2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

단계 3

$N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 3.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

단계 3.4.2

$12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $12 x$ 을 대입합니다.

$2 x = 12 x$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 x = 12 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $12 x$ 를 대입합니다.

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $2 x y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $2 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$12 x - 1 \cdot 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$12 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

단계 5.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

단계 5.3.2.1.3

$x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

단계 5.3.2.3

$12$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

단계 5.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{10}{2 y}$

단계 5.3.4

$M$ 에 $2 x y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.4.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

단계 5.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.4.2.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

단계 5.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

단계 5.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$5$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 6.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

단계 6.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

단계 7

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $y^{5}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$2 x y$ 에 $y^{5}$ 을 곱합니다.

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$y^{5}$ 를 옮깁니다.

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2.2

$y^{5}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2.3

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.3

$6 x^{2} + y^{3}$ 에 $y^{5}$ 을 곱합니다.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

단계 7.5

지수를 더하여 $y^{3}$ 에 $y^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

단계 7.5.2

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

단계 9

$M (x, y) = 2 x y^{6}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

$2 y^{6}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 y^{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

단계 9.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 9.3

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2

간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.2

$y^{6}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.3

$y^{6}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.4

$2$ 에 $y^{6}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

단계 9.3.2.5.2

$y^{6}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $y^{6} x^{2} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{6} x^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ 입니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12.3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12.3.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $6 y^{5} x^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

단계 13.1.2

$6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.2.1

인수가 항 $6 x^{2} y^{5}$ 과(와) $- 6 y^{5} x^{2}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

단계 13.1.2.2

$6 y^{5} x^{2}$ 에서 $6 y^{5} x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

단계 13.1.2.3

$y^{8}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

단계 14

$y^{8}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int y^{8} d y$

단계 14.3

멱의 법칙에 의해 $y^{8}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{9} y^{9}$ 가 됩니다.

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

단계 15

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

단계 16

$\frac{1}{9}$ 와 $y^{9}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$