미적분 예제

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y (2 x - y)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

단계 1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = 2 x - y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $2 x - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$2 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

단계 1.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

$2 x - y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

단계 1.3.8.2

$- y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

단계 2

$N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.5

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

단계 2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x - 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 x$ 을 대입합니다.

$2 x - 2 y = - 2 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 x - 2 y = - 2 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 2 x$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x - 2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $y (2 x - y)$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $y (2 x - y)$ 를 대입합니다.

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2.4

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2.5

$- 4 x + 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2.5.2

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.2.5.3

$2 (- 2 x) + 2 (y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.3

$- 2 x + y$ 및 $2 x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.3.2

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.3.3

$- (2 x) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.3.4

$- (2 x - y)$ 을 $- 1 (2 x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.3.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

단계 4.3.3.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

단계 4.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{y}$

단계 4.3.5

$M$ 에 $y (2 x - y)$ 를 대입합니다.

$- \frac{2}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

단계 5.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

단계 5.6.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{- 2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

단계 5.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

단계 6

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{2}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$y (2 x - y)$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

단계 6.3

$2 x - y$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

단계 6.4

$- (x^{2} + y^{2} + 1)$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.7

$- x^{2} - y^{2} - 1$ 에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.8

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.9

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.10

$- (x^{2}) - (y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.11

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.12

$- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.13

$- (x^{2} + y^{2} + 1)$ 을 $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

단계 6.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

단계 8.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

단계 8.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

단계 8.3.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

단계 8.4

$\frac{2}{y}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{y}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

단계 8.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

단계 8.6

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

단계 8.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

단계 8.8

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

단계 8.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.9.1

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

단계 8.9.2

$2$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

단계 8.9.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.9.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

단계 8.9.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{y}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{y}$ 을 $y^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.4

$- x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- x$ 입니다.

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.6.2

항을 묶습니다.

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단계 11.6.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.6.2.2

$- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 11.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 12.1.1.1

방정식의 양변에 $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.3

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.4

$0$ 를 $y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{d g}{d y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

단계 12.1.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

단계 12.1.3

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

단계 12.1.3.1.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

단계 12.1.3.2

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ 의 각 항을 $y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.1

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ 의 각 항을 $y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

단계 12.1.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.2.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

단계 12.1.3.2.2.1.2

$\frac{d g}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

단계 12.1.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.3.1.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.2.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

단계 12.1.3.2.3.1.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

단계 12.1.3.2.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

단계 13

$- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 13.4

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 13.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 13.6

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

단계 13.7

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

단계 13.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

단계 13.8

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

단계 13.9

간단히 합니다.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

단계 13.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

단계 13.10.2

$\frac{1}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$