미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 4 y + x$

단계 1

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 4$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 4 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- 4 x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 4 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- 4 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{- 4 x}$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$

단계 3.3

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = x e^{- 4 x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = x e^{- 4 x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int x e^{- 4 x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 4 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

단계 7.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

단계 7.3

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

단계 7.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x$

단계 7.5

먼저 $u = - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$u = - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$- 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 7.5.1.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cdot 1$

단계 7.5.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 7.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

단계 7.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

단계 7.6.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

단계 7.7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

단계 7.8

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

단계 7.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

단계 7.9.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

단계 7.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

단계 7.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.11.1

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ 을 $- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

단계 7.11.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.11.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

단계 7.11.2.2

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{x}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

단계 7.12

$u$ 를 모두 $- 4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

단계 7.13

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

단계 7.14

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x}}{4} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

단계 8.1.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

단계 8.1.3

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

단계 8.2

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ 의 각 항을 $e^{- 4 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ 의 각 항을 $e^{- 4 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$e^{- 4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.2

$\frac{1}{e^{- 4 x}}$ 에 $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.3

$e^{- 4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.5

$\frac{1}{e^{- 4 x}}$ 에 $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.6

$e^{- 4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

단계 8.2.3.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$