미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} y - 4 x^{3} y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$5 x^{4} y - 4 x^{3} y$ 에서 $x^{3} y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$5 x^{4} y$ 에서 $x^{3} y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) - 4 x^{3} y$

단계 1.1.2

$- 4 x^{3} y$ 에서 $x^{3} y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$

단계 1.1.3

$x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$ 에서 $x^{3} y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x - 4)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x^{3} y (5 x - 4))$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x^{3} y (5 x - 4)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

단계 1.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

단계 1.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x - 4)$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.3.4

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x - 4 \cdot x^{3}$

단계 1.3.5

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x \cdot x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

단계 1.3.5.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x^{1} x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

단계 1.3.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{1 + 3} - 4 \cdot x^{3}$

단계 1.3.5.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 \cdot x^{3}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 x^{3}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = (5 x^{4} - 4 x^{3}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

단계 2.3.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x$

단계 2.3.4

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$5$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3

$x^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 4}{4} x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.5

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.5.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.5.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 1}{1} x^{4} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.5.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - x^{4} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x^{5} - x^{4} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{x^{5} - x^{4} + C}$ 을 $e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{x^{5} - x^{4}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{x^{5} - x^{4}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{x^{5} - x^{4}}$