미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y \sqrt{1 + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

단계 1.2

$y \sqrt{1 + y^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 1 + y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 1 + y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.2.1.1.3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.2.1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 y$

단계 2.2.1.1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6.2.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.6.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $1 + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$u = t$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

단계 2.3.2

$e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $e^{t}$ 입니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

단계 2.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$