미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x^{2}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

조합합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

단계 1.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (2 y)}{y x^{2}}$

단계 1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x^{2}}$

단계 1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.3.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 2.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 2.3.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{- 2} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- x^{- 1} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$2 (- x^{- 1} + C_{2})$ 을 $2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - \frac{2}{x} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{2}{x} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- \frac{2}{x} + C}$

단계 3.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- \frac{2}{x} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- \frac{2}{x} + C}$ 을 $e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- \frac{2}{x}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- \frac{2}{x}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- \frac{2}{x}}$