미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x y + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

단계 1.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

단계 1.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

단계 1.1.4

$x (y) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

단계 1.2

$x^{2} y + y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

단계 1.2.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

단계 1.2.3

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

단계 1.2.4

$y x^{2} + y \cdot 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

단계 1.4

양변에 $\frac{y}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ 에 $\frac{y + 1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

단계 1.5.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$(x^{2} + 1) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.3

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$x (y + 1)$ 에서 $y + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

단계 1.5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$y$ 을 $y + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$1$

$y$

$0$

단계 2.2.1.2

피제수 $y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

단계 2.2.1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

단계 2.2.1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

단계 2.2.1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

단계 2.2.1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.5

먼저 $u_{1} = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$u_{1} = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.5.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.5.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.8

$u_{1}$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

단계 2.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$