미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수 $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

단계 1.2

$\sqrt{x^{2}} = x$ 라고 가정합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

단계 1.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 와 $\sqrt{x^{2}}$ 을 묶어 하나의 근호로 만듭니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.4

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ 를 나누어 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분수 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.4.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

단계 1.5

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

단계 6.1.1.1.2

$V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

단계 6.1.1.1.2.2

$0$ 를 $\sqrt{1 + V^{2}}$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

단계 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.2

양변에 $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

단계 6.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

조합합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

단계 6.1.3.2

$\sqrt{1 + V^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

단계 6.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $V = \tan (t)$ 라고 하면 $d V = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

항을 다시 배열합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2.1.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2.2

$\sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.2.1

$\sec^{2} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.3

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2.4

$t$ 를 모두 $\arctan (V)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

단계 8

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

단계 8.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

평면에 $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (\frac{y}{x})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \frac{y}{x})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ 는 $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ 입니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.2

$\frac{y}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.5

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.3.5.1

$x^{2} + y^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.5.2

$x^{2}$ 에서 완전제곱인 $x^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.5.3

분수 $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.7

$\frac{1}{x}$ 와 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

단계 8.3.8

탄젠트와 아크탄젠트 함수는 역함수 관계입니다.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

단계 8.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$