미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{e^{- y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

단계 1.2

$e^{- y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$e^{- y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.2.1.2.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.2.1.2.2

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.2.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

단계 2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

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단계 3.2.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

단계 3.2.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ 에서 $x$ 에 $5$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

단계 5

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

단계 5.2

$K$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

단계 5.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

단계 5.4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.1

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

단계 5.4.2

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

단계 5.4.2.1.2

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$25 - 20 + K = e^{0}$

단계 5.4.2.2

$25$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$5 + K = e^{0}$

단계 5.4.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$5 + K = 1$

단계 5.4.4

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.4.4.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$K = 1 - 5$

단계 5.4.4.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$K = - 4$

단계 6

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ 의 $K$ 에 $- 4$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$K$ 에 $- 4$ 를 대입합니다.

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$