미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

단계 1.2

${(2 y - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ 에서 ${(2 y - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 2 y - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 2 y - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$2 y - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.2.1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 2.2.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.4.1

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.2.1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2.2

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

단계 2.2.5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ 을 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.6.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{u}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $2 y - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

단계 3.2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.3

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 3.2.4

$3$ 는 $1$ , $3$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$3$ 는 소수입니다

단계 3.2.5

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.6

$2, 3, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2 \cdot 3$

단계 3.2.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6$

단계 3.2.8

$2 y - 1$ 의 인수는 $2 y - 1$ 자신입니다.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.2.9

$2 y - 1$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$2 y - 1$

단계 3.2.10

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$6 (2 y - 1)$

단계 3.3

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ 의 각 항에 $6 (2 y - 1)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ 의 각 항에 $6 (2 y - 1)$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2 (2 y - 1)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.2.1.2

$6 (2 y - 1)$ 에서 $2 (2 y - 1)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

단계 3.3.3.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

단계 3.3.3.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

단계 3.3.3.1.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

단계 3.3.3.1.10

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

단계 3.3.3.1.11

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

단계 3.4.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

방정식의 양변에 $2 x^{3}$ 를 더합니다.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

단계 3.4.2.2

방정식의 양변에 $6 K$ 를 더합니다.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

단계 3.4.3

$4 x^{3} y + 12 K y$ 에서 $4 y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$4 x^{3} y$ 에서 $4 y$ 를 인수분해합니다.

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

단계 3.4.3.2

$12 K y$ 에서 $4 y$ 를 인수분해합니다.

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

단계 3.4.3.3

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ 에서 $4 y$ 를 인수분해합니다.

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

단계 3.4.4

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ 의 각 항을 $4 (x^{3} + 3 K)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ 의 각 항을 $4 (x^{3} + 3 K)$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.2.2

$x^{3} + 3 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.2.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3.1.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.2.2.1

$4 (x^{3} + 3 K)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3.1.3

$6$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.3.1

$6 K$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

단계 3.4.4.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.3.2.1

$4 (x^{3} + 3 K)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

단계 3.4.4.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

단계 3.4.4.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$