미적분 예제

$(1 - x) d y + y d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $y d x$ 를 뺍니다.

$(1 - x) d y = - y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(1 - x) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$(1 - x) y$ 에서 $1 - x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

단계 3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

$- \frac{1}{(1 - x) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

단계 3.3.2

$(1 - x) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u = 1 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.3.2.1

$u = 1 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 4.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.5.2

$\int \frac{1}{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

단계 4.3.6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

단계 4.3.7

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

단계 5.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.5.1

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

단계 5.5.2

양변에 $| 1 - x |$ 을 곱합니다.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

단계 5.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

$| 1 - x |$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

단계 5.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

단계 5.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.5.4.1

$e^{C} | 1 - x |$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

단계 5.5.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm | 1 - x | C$

단계 6.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C | 1 - x |$